Tenho as tabelas autor e frase:

autor:
autor_id | autor_nome
1        | joão
2        | pedro

frase:
frase_id | frase_frases    |autor_id 
1        | frase do joão   | 1
2        | frase do pedro  | 2
3        | frase do pedro  | 2
4        | frase do pedro  | 2

Como faço para exibir o nome "pedro" e todas as "frase do pedro" ?

O que filtra o resultado por determinada condição é a cláusula WHERE.

Se quiser selecionar por nome:

SELECT
   autor.autor_nome,
   frase.frase_frases
FROM
   autor
INNER JOIN
   frase ON autor.autor_id = frase.autor_id
WHERE
   autor.autor_nome = 'pedro'

Veja funcionando no SQL Fiddle.

Se quiser selecionar por id:

SELECT
   autor.autor_nome,
   frase.frase_frases
FROM
   autor
INNER JOIN
   frase ON autor.autor_id = frase.autor_id
WHERE
   autor.autor_id = 2

Veja funcionando no SQL Fiddle.

Se preferir localizar por qualquer nome que tenha pedro no meio, pode usar assim:

WHERE
   autor.autor_nome LIKE '%pedro%'